(v x p) x v = (v . v)  p - (v . p) v

vv = GenericVector[v] ; pv = GenericVector[p] ; vv // Nice pv // Nice

( v ) x v y v z

( p ) x p y p z

tst1 = Cross[Cross[vv, pv], vv] ; tst1 // Nice

( 2 2 ) p v - p v v + p v - p ... 2 p v - p v v + p v - p v v z x x z x z y y y z

tst2 = (vv . vv) pv - (vv . pv) vv ; tst2 // Nice

( 2 2 2 ) p (v + v + v ) ... v + v + v ) - v (p v + p v + p v ) z x y z z x x y y z z

tst = Simplify[tst1 == tst2]

True

Created by Mathematica  (September 7, 2003)